고등학교 기하와 벡터

포물선의 방정식

개요

초점이 (1, 0)이고 원점을 지나는 포물선

위 그래프에서 보라색 점은 초점, 파란색 점은 준선, 빨간색 곡선을 포물선이라 합니다. 여기서 준선과 수직이면서 초점을 지나는 선을 이라 하고, 축과 포물선이 만나는 점을 꼭짓점이라 합니다. 점 P가 있을 때, 초점부터 점 P까지의 거리와 점 P부터 준선 까지의 거리가 같은 점을 모두 모으면 포물선이 됩니다.

준선 H를 라 하고, 초점 F를 이라 할 때, 이므로 다음과 같은 식을 유도할 수 있습니다

여기서 양 변을 제곱하면 초점이 이고 원점을 지나는 방정식인

라는 식을 얻을 수 있습니다.
 
초점이 양수일 경우에는 위와 같은 그래프가 나오지만, 음수일 경우에는 그래프가 다음과 같습니다
여기서는 초점이 인 방정식을 예로 든 것입니다.
그렇다면 이렇게 가로로 누운 그래프를 세로로 세우면 어떻게 될까요? 이차곡선이 떠오르지 않나요?
이렇게 (이차곡선처럼)세로로 세운 그래프는 방금과 유사한 유도과정을 통해 다음과 같은 방정식의 형태를 띠고 있습니다
여기서 초점은 , 준선은 입니다. 유심히 들여다 보시면 꼴의 그래프라는 것을 알 수 있습니다. 모양은 다음과 같습니다

포물선의 평행 이동

포물선의 평행이동은 여태껏 봐왔던 함수들의 평행이동과 같습니다. 예를 들어 x의 방향으로 3만큼, y의 방향으로 2만큼 평행이동하면 다음과 같은 방정식이 됩니다(초점은 입니다.)

 그렇다면, 초점과 준선은 어떻게 되었을까요?

위의 방정식에서 x의 방향으로 이동하는 것은 준선과는 관계 없습니다. 준선은 x축에 평행하여 위아래로 무한히 길게 뻗어있기 때문이죠. 축은 수직이기 때문에, 이와는 반대로 y의 방향으로 이동하는 것과 관계 없습니다.

그러므로 준선의 방정식은 입니다. 세로로 세운 그래프의 경우, 준선이 x축에 평행하여 길게 뻗어 있으므로 x축의 이동과는 상관 없게 됩니다.

초점은 하나의 점에 지나지 않기 때문에, 포물선을 그대로 따라갑니다. 그러므로 가 되겠죠. 이는 꼭짓점도 마찬가지입니다. 결국, 그래프는 다음과 같은 그림의 실선과 같게 됩니다

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##hyun
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