python과 함께하는 수학함수 기초

순간변화율

함수의 순간변화율의 의미를 알아봅니다.

떨어지는 물체의 속도

높이가 0m인 물체가 9.8m/s² 의 중력가속도에 의해 자유롭게 떨어진다면
시간의 흐름에 따른 물체의 위치는 아래와 같이 구할 수 있습니다.

def height(seconds):
    position = 0
    position -= 9.8 * (seconds**2) / 2
    return position

[height(x) for x in range(7)]
  처음 1초 뒤 2초 뒤 3초 뒤 4초 뒤 5초 뒤 6초 뒤
위치(m) 0 - 4.9 - 19.6 - 44.1 - 78.4 - 122.5 - 176.4

평균속도는 일정한 시간이 흐르는 동안 이동한 위치를 해당 시간으로 나눈 값입니다.
이것은 아래와 같이 구할 수 있습니다.

def averageVelocity(start, end):
    velocity = (height(end) - height(start)) / (end - start)
    return velocity

[averageVelocity(x,x+1) for x in range(6)]
  처음 0~1초 1~2초 2~3초 3~4초 4~5초 5~6초
평균속도(m/s) 0 - 4.9 - 14.7 - 24.5 - 34.3 - 44.1 - 53.9

평균속도를 구하는 시간을 매우 짧게 했을 때,
아래와 같이 그 값이 일정한 것을 볼 수 있는데,
충분히 짧은 시간에 대해 일정하게 구해지는 평균속도를 순간속도라고 합니다.

[averageVelocity(2.5-dx,2.5+dx) for dx in (2, 1, 0.5, 0.1, 0.01)]
  0.5~4.5초 1.5~3.5초 2~3초 2.4~2.6초 2.49~2.51초
평균속도(m/s) - 24.5 - 24.5 - 24.5 - 24.5 - 24.5

순간변화율

평균속도와 순간속도의 관계와 같이
x 값 변화에 대한 함수 f(x)의 평균변화율이
x 값의 변화가 충분히 작아질 때, 일정한 값으로 수렴한다면
이 수렴하는 값을 함수 f(x)의 순간변화율이라고 합니다.

순간변화율이란 x 값의 변화가 충분히 작아질 때, 함수값 f(x)의 평균변화율이 수렴하는 값을 의미합니다.

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최동희
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